trabajos de estadística descriptiva resueltos

. . Ejercicios de Excel para estadística resueltos. Elija y calcule el índice de correlación adecuado para interpretar estos datos. [18,20] 4 Coeficientes de asimetría y curtosis. Multiplicamos por , en este caso , y dividimos por . 6 = -0’85 ⇒ r2 = 0’7225 (72’25%) c) Alta relación entre las dos pruebas (r=-0’85) y de signo inverso. zy b) 1 - r2 = 0'1667 10 y' = 1'5 . . rs YY YY N YY N YY ss YXYe −= − −− = − == ∑ ∑∑∑ La raíz cuadrada de la varianza residual se denomina error típico de la predicción : s s rY X Y. En «ProfeWhatsApp» te brindamos la ayuda que necesitas y en el momento justo. Partiendo de dos variables X , Y, podemos definir las nuevas variables : • S = X + Y obtenida sumando cada valor de X con el correspondiente de Y. POLÍGONO DE FRECUENCIAS : Obtenido enlazando los puntos medios de los extremos superiores de las franjas. . 14 A las puntuaciones directas 2 y 6 de la variable X le corresponden predicciones 3'2 y 7'2 respectivamente. . . ... 222 == − − = − − = ∑∑ ∑∑∑ XXN YXYXN b a Y b X= − = − =. ' b) Si suponemos que en el Centro hay 1200 alumnos, ¿ cuáles serían las frecuencias absolutas? . ' . ' . . ' x1 (n1 . xi).xi NI=n1+n2+ ... +ni Pi = (Ni / N) . . . Esta dificultad aconseja seguir el método abreviado descrito anteriormente. A lo largo de esta unidad observaremos, que las técnicas estadísticas a seguir serán diferentes según el tipo de variable objeto de estudio. Un criador de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de cinco meses es 4,35 libras. . ' a) Considerando a todos los alumnos, ¿ cuál es la probabilidad de aprobar el examen ?. 2º Si a.d > b.c , calculamos el cociente : C = a.d / b.c (el coeficiente de correlación será positivo) 3º Si a.d < b.c , calculamos el cociente : C = b.c / a.d (el coeficiente de correlación será negativo) 4º Consultando la tabla de cálculo del coeficiente de correlación tetracórico, localizamos el cociente C en el intervalo que lo contiene (con extremos A y B). Este bloque temático nos enseña a interpretarlas. Estadística: es la rama de la matemática que nos permite recoger, organizar y analizar datos. ... . Teorema de Bayes. '3 1 3 1 1 3 1 4 1 3 3 4 1 3 1 05= + + = Puede resolverse sin necesidad de aplicar el Teorema de Bayes. ' . ' .= = 0 8392 Para el pronóstico tipificado 1'1868 deduciremos el valor tipificado de X. Teniendo en cuenta el proceso de tipificación, deduciremos la puntuación directa de X z z X X s X XY X X ' ' ' ' ' ' ' . De aceptarla, la mayor comisión de delitos se produce en consumidores de drogas. . Observando la figura apreciamos que las desviaciones d antes definidas tienen como media cero (las positivas compensan con las negativas), lo cuál obliga a subsanar este inconveniente tomándolas en valor absoluto o elevándolas al cuadrado. 'A B3 1 3 3 30 1 3 12 30 1 3 18 30 1 3 3 30 3 33 0 0909= + + = = 11 Disponemos de tres urnas con la distribución de bolas blancas y rojas indicada en el gráfico de la izquierda. Se trata de analizar la relación que puede existir entre la especialidad (Ciencias o Letras) y el ser repetidor o no serlo. . ' ! Esta relación teórica sólo se verifica en situaciones ideales y excepcionales (por ejemplo en distribuciones simétricas, donde x Mo Me= = ). En la práctica, las frecuencias absolutas se obtienen restando la correspondiente acumulada de la anterior. Si comparamos mediante los coeficientes de variación : CV S X CV S XA A A B B B = = = = = =. ' . . '78 10 1 0809 69 10 0 3416 ( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )( ) 9861'078696.10.69549.10 78.69617.10 ... ... 222222 = −− − = −− − = ∑∑∑∑ ∑∑∑ YYNXXN YXYXN r a) Rectas de regresión : 1º.- En puntuaciones directas : Y' = a + b . Rango (estadística) El rango es un valor numérico que indica la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de una población o muestra estadística. ' Y' = 2'7925 - 0'4607 . Calcule el coeficiente de correlación más adecuado para medir el grado de asociación existente entre las variables descritas. 4 - Regresión y correlación (F. Álvarez) Los coeficientes de correlación anteriores no son más que una adaptación del coeficiente de correlación de Pearson para tipos especiales de variables. . zx c) 1 - r2 = 0'1737 La proporción de varianza no explicada por X supone el 17'37% de la de Y. a) b) Extraída una bola de una de las urnas, hallar la probabilidad de que sea blanca. X en puntuaciones diferenciales : y' = 0'8 . de 20 a menos de 25 15 de 25 a menos de 35 20 de 35 a menos de 45 48 de 45 hasta 65 24 9 Ponga un ejemplo sencillo de una distribución de frecuencias simétrica. . . Dividimos las frecuencias según sea la amplitud del intervalo. . FUNDAMENTO : Sobre un eje (normalmente el horizontal) marcamos los valores de la variable, dibujando sobre cada uno de ellos una barra cuya longitud sea proporcional a la frecuencia que se esté visualizando. • f(z) y f(z') ordenadas de la curva normal, correspondientes a los valores z y z' anteriores. ' ' . Tales coeficientes son el de asimetría de Yule y el de curtosis de Kelley. ' . ' . . xi (ni . ' ' ' A aprobado A aprobado A A aprobado A B aprobado B C aprobado C = + + = = + + = = 0 50 0 60 0 50 0 60 0 30 0 75 0 20 0 30 0 30 0 585 0 5128 c) Teorema de Bayes : Pr( / ) Pr( ).Pr( / ) Pr( ).Pr( / ) Pr( ).Pr( / ) Pr( ).Pr( / ) ' . ' ( )1. Y 1 0 Asignemos los valores 0 y 1 a ambas variables y realicemos el recuento X 1 a b representado en la tabla de la izquierda. Estadística descriptiva (F. Álvarez) - 47 ( ) 3 . Resulta así : X = 5 +5 = 10 , Y = 10 , S = 2 , S = 3, S = 4' 8X Y XY Luego : b S S a Y b X Y XXY X = = = − = − = − → = − +2 12 10 12 10 2 2 12' . ' a) Al referirse a intervalos de 5 cm. Un fabricante de medicamentos veterinarios está interesado en la proporción de animales que … • D = X - Y obtenida restando a cada valor de X el valor correspondiente de Y. Esto supone la existencia de tantas observaciones de X como de Y, así como el emparejamiento de ellas; es decir, a cada valor de X queda asociado un valor de Y. Esto constituirá la base de estudio del siguiente tema . TEOREMA DE PROBABILIDADES COMPUESTAS : B/A = suceso B condicionado al A ( ocurrir B habiendo ocurrido A ). Por ello se intenta definir las medidas de dispersión, de modo que sean el promedio de las separaciones de cada valor respecto de uno tomado como referencia (la MEDIA). Todo depende del número de cifras decimales que emplee en sus cálculos. La Estadistica. 2 La tabla siguiente contiene los pesos en kg. X ⇒ = +42 8a b. • z' valor de la curva normal tipificada N(0,1), que deja a su derecha un área m, igual a la menor de las cantidades (a+b)/n o (c+d)/n. r b S S S S SX Y Y Y Y= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = =. ' Tema: Estadística;Investigación: Editorial: Sucasaire Pilco, Jorge Puedes contactarnos para poder brindarte ayuda en Asesor Universitario. Con relación al centro (50%), cubrirán desde el 40% al 60%. .= −1 2 IMPORTANTE : Observe los diferentes significados e interpretaciones de r2. a) Inicio x 4 5 1 5 2 3 2 1 1 3 27 x2 16 25 1 25 4 9 4 1 1 9 95 x sx= = = − = 27 10 2 7 95 10 2 7 14872' ; ' ' Ordenando valores : 1 1 1 2 2 3 3 4 5 5 Mediana = 2’5 Moda = 1 Final y 6 8 5 9 3 6 7 6 4 9 63 y2 36 64 25 81 9 36 49 36 16 81 433 y sy= = = − = 63 10 6 3 433 10 6 3 192' ; ' ' Ordenando valores : 3 4 5 6 6 6 7 8 9 9 Mediana = 6 Moda = 6 b) Mejora d 2 3 4 4 1 3 5 5 3 6 36 d2 4 9 16 16 1 9 25 25 9 36 150 d sd= = = − = 36 10 3 6 150 10 3 6 14282' ; ' ' Media de la diferencia : d y x= − = − =6 3 2 7 36' ' ' ( No es válido para dispersiones ) 28 - Estadística descriptiva (F. Álvarez) 15 a) Determine la media, desviación típica, coeficiente de variación, mediana y moda del número de suspensos. Mediana (percentil 50) en [14,16) Me P= = + − =50 14 50 60 100 16 19 2 15 4737 . Si la variable es Cualitativa, observamos los valores diferentes de la misma. . ' EJERCICIOS ESTADISTICA DESCRIPTIVA . En la ecuación que permite calcular rt : • z valor de la curva normal tipificada N(0,1), que deja a su derecha un área m, igual a la menor de las cantidades (a+c)/n o (b+d)/n. . 2 1. ' . ' b) Comparamos cada valor de Y con los Yi siguientes, contando una permanencia si Y < Yi y una inversión si Y > Yi. Los temas estarán de manera ordenada según los libros de texto de Estadística. Estadística: Números Índices Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández NÚMEROS ÍNDICES.‐ Se plantea la cuestión de comparar una serie de observaciones respecto … a) Obtenga su media, mediana y moda. zx Sabiendo que : X = 5 , Y = 10 , S = 2 , S = 3X Y , calcular : a) La varianza de las puntuaciones pronosticadas en Y. b) La recta de regresión de Y sobre X, en puntuaciones directas, si sumamos 5 a todos los valores de X. c) La recta de regresión de Y sobre X, en puntuaciones directas, si sumamos 3 a todos los valores de Y y multiplicamos por 2 todos los valores de X. . CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS : Teniendo en cuenta la amplitud total de las observaciones (Valor máximo menos valor mínimo observados), tomaremos una decisión sobre el número total de intervalos, o bien sobre la amplitud o tamaño de los mismos. . Problemas resueltos de estadística descriptiva. 5. 3 De la siguiente distribución bivariante : Y [0,1) [1,2) [2,3] X 2 1 2 1 3 3 6 3 4 1 2 1 a) Calcule e interprete el valor de la covarianza. Es decir : r = + =0 7042 0 8392' ' De la recta de regresión de Y sobre X deducimos (para las medias) : Y Y X X Y' ' ' ' '= = + ⇒ = − = − =1 2 1 2 5 2 1 2 4 La desviación típica de X la podemos obtener ahora de la relación : r b s s s r s b sX Y X Y X= ⇒ = = = ⇒ = =. ' . . - Nmero de goles marcados en un partido de futbol. . ( ). Y fA fB 9 - 11 40 0 X 6 - 8 40 0 3 - 5 0 10 0 - 2 0 10 X nA nA.X nB nB.X X n n.X n.X2 0-2 1 0 0 10 10 1 10 10 10 3-5 4 0 0 10 40 4 10 40 160 6-8 7 40 280 0 0 7 40 280 1960 9-11 10 40 400 0 0 10 40 400 4000 80 680 20 50 100 730 6130 X X X SA B X= = = = = = = − = 680 80 8 5 50 20 2 5 730 100 7 3 6130 100 7 3 2 832' ; ' ; ' ; ' ' r X X S p qbp A B X = − = − =. n De la distribución de la izquierda, calcular : [10,12) 5 Media, varianza y desviación típica. .A A A A A A A A A1 2 3 1 2 1 3 1 2∩ ∩ ∩ = ∩ TEOREMA DE BAYES : Sean n causas independientes Ai con probabilidades Pr(Ai) conocidas y sea B un suceso que puede presentarse en cada una de ellas, siendo conocidas las probabilidades Pr(B/Ai). Regresión y correlación (F. Álvarez) - 33 15 En un grupo de 10 alumnos se han obtenido las calificaciones en Anatomía, separando el ejercicio teórico del práctico. 915 6 75 3186 20 40 20 40 0 377 Muy débil relación entre las variables, de signo directo. ( ' ) 2 2 2 3 3 3 4 22 1 1 3 3 3 4 Como es lógico, la mayor exactitud en el cálculo rt , se obtiene al considerar un mayor número de sumandos del desarrollo en serie anterior. El polígono de frecuencias se construiría enlazando los extremos superiores de las barras. Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales-Casos y problemas resueltos Estadística Descriptiva: presentación de datos Patricio Alcaíno Martínez … ' ' . Situados en una tabla los valores de la variable (desde el mínimo al máximo) o los intervalos que los contienen, procedemos a contar las veces que se repiten. WebEjercicios: Prueba de hipótesis para una y dos muestras. b) Relación perfecta. A su vez las variables cuantitativas se subdividen en dos tipos : DISCRETAS : Toman valores concretos (Nº de hijos : 0, 1, 2, ...) CONTINUAS : Pueden tomar cualquier valor de un cierto intervalo (Peso ; Estatura ; ...). ' ' ' ' ' . ( ) se definen dos nuevos coeficientes de asimetría (de Pearson): As x Mo 2 = − σ As x Md 3 3 = −. Con esto los intervalos serían : [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90] Si partimos de la decisión de que los intervalos tengan 15 unidades de amplitud, simplemente iniciaremos su construcción hasta llegar a un intervalo que contenga al valor máximo observado. extensión *.spo. Las sumas TD y TP permiten obtener el índice de Gini : G TD TP = − = − = 100 133182 515 100 0 3209 ' ' Concluimos la presencia de una cierta concentración (lo cuál también se advierte con la gráfica). . . 10/8/2020 EXAMEN FINAL - Estadística descriptiva y probabilidades (CGT) - Remoto Marzo 2020: ESTADISTICA DESCRIPTIVA Y PROBABI… EXAMEN FINAL - Estadística descriptiva y probabilidades (CGT) - Remoto Marzo 2020 Fecha de entrega No hay fecha de entrega Puntos 20 Preguntas 5 Disponible 8 de ago en 15:30 - 8 de ago en 16:40 casi 1 hora Límite de tiempo 70 … La estadística descriptiva es, junto con la inferencia estadística o estadística inferencial, una de las dos grandes ramas de la estadística. . El primer intervalo no tiene porqué iniciarse en 11 (mínimo); es más, se aconseja tomar siempre valores "visualmente agradables" (5, 10, 15 ,...). - Cantidad de agua consumida por una persona al da. ( ) ( ) ( ) . d) Error típico de la predicción. . La norma que hemos de seguir en la construcción de un gráfico estadístico es siempre : "La zona que identifica a cada valor será proporcional a su frecuencia" Los diagramas usuales son los que se describen a continuación. 6) Estas son las medidas estadísticas de un estudio sobre el número de roturas que sufrieron unas varillas a las que se les sometió a una prueba. Droga SI Droga NO Delito SI a=50 b=50 Delito NO c=150 d=250 Regresión y correlación (F. Álvarez) - 25 30 Estudiando la relación entre las variables X e Y se obtuvieron los siguientes datos : X Y S S r nx Y xy= = = = = =50 6 6 2 0 8 5, , , , ' , a) ¿ Qué puntuación directa en Y pronosticaremos a un sujeto que obtuvo una puntuación directa en X de 52 ?.) . . ' Resulta así : X = 5 . . Posteriormente podremos visualizar tales frecuencias de forma gráfica con el diagrama estadístico apropiado. Generalmente no conducen a la misma conclusión, salvo distribuciones claramente asimétricas. c) Determinar su media aritmética, varianza y desviación típica. Esto condicionará en gran medida su posterior tratamiento. . ' X=2 : (2,1) , (2,4) , (2,5) sustituidos por el par (2,3'33) , al ser 3'33 la media de 1, 4 y 5. Medidas y representaciones gráficas. . ' zy b) r = 0'1944 Las variables no están relacionadas linealmente (son independientes) 6 (I) Coeficiente biserial puntual rbp = 0'0389 (II) Coeficiente ρ de los rangos de Spearman ρ = 0'8857 (III) Coeficiente ϕ ϕ = - 0'6154 7 a) Y = 0'3 + 0'9 . X b) r = 0'8188 Elevada relación entre las variables (de tipo directo) c) R2 = r2 = 0'6704 d) Y Y'= = 4’05 sY' 2 =1'2218 4 X =4 sX 2 = 0'5714 Y =1'6508 sY 2 = 0'9257 sXY = -0'5238 a) f = 12 b) b = -0'9167 y' = -0'9167 . Haciendo uso de las propiedades de las medidas estadísticas ,podremos facilitar y simplificar los cálculos de parámetros estadísticos, realizando un cambio de variable. a) Biserial puntual (rbp). ''0 977 0 63635 165 0 6364 2 656594 0 977 2 656594 6 73662 2 2 c) 1 - r2 = 1 - 0’9772 = 0’045471 (4’5471%) 20 - Regresión y correlación (F. Álvarez) 18 Las puntuaciones directas obtenidas por 5 sujetos en la escala LKS (Escala de Lucas) y las obtenidas por esos mismos sujetos en el factor C (Control Social) del PSI son las que figura en la tabla final. 2 De la distribución bivariante siguiente : Y 0 1 2 X 2 0 1 5 4 0 9 0 6 8 0 0 a) Obtenga la recta de regresión de Y sobre X. b) Obtenga la recta de regresión de X sobre Y. c) Calcule e interprete el coeficiente de correlación lineal. 14 16 16 19 17 17 15 17 17 15 19 15 15 16 17 14 15 16 17 16 16 15 16 18 14 15 14 17 13 18 16 16 15 16 17 15 17 14 16 16 18 18 16 18 17 17 17 17 15 16 a) Construir la tabla completa de frecuencias. ( )YY −' representa, en consecuencia, la información asociada a X. Los cálculos de la mediala, índice de Gini y curva de Lorenz, se obtienen a partir de la siguiente tabla auxiliar: xi ni Ni = Σ ni. 6 - Estadística descriptiva (F. Álvarez) AMPLITUD SEMI-INTERCUARTÍLICA : Q Q Q = −3 1 2 Esta medida de dispersión se basa en medidas de posición (Cuartiles),.Su empleo tendrá sentido en el supuesto de imposibilidad de cálculo de la media. Qi = (Ti.. /T).100 Pi - Qi [0,2) 1 2 2 2 2 2 0'297 1'703 [2,4) 3 6 8 8 18 20 2'967 5'033 [4,6) 5 26 34 34 130 150 22'255 11'745 [6,8) 7 40 74 74 280 430 63'798 10'202 [8,10) 9 21 95 95 189 619 91'840 3'160 [10,12] 11 5 100 100 55 674 100 0 N =100 TP = 313 T = 674 TD =31'843 Con TD y TP obtenemos el índice de Gini : G TD TP = − = − = 100 31843 313 100 01495 ' ' Concluimos que existe una concentración muy baja (lo cuál manifestará también la gráfica de Lorenz). 28 Un grupo de hombres y mujeres responde a una prueba (X). b) Los autobuses de ida y vuelta han de ser de diferente línea. ' . ' Si la media es representativa de las observaciones (no existen valores extremos exageradamente distanciados de la mayoría), el coeficiente de variación permite comparar la dispersión de dos series estadísticas : mayor coeficiente indica menor homogeneidad, o lo que es lo mismo, mayor dispersión o variabilidad. b = -20’4 / 16 = -1’275 a = 40 - (.1’275).14 = 57’85 a) Y’ = 57’85 - 1’275.X = 57’85 - 1’275 . X Mujeres Hombres 11 - 13 8 3 8 - 10 6 5 5 - 7 5 6 2 - 4 1 6 X nM nM.X nH nH.X X n n.X n.X2 2-4 3 1 3 6 18 3 7 21 63 5-7 6 5 30 6 36 6 11 66 396 8-10 9 6 54 5 45 9 11 99 891 11-13 12 8 96 3 36 12 11 132 1584 20 183 20 135 40 318 2934 X X X SM H X= = = = = = = − = 183 20 915 135 20 6 75 318 40 7 95 2934 40 7 95 31862' ; ' ; ' ; ' ' r X X S p qbp M H X = − = − =. En relación con la desviación típica s b s b b aY X= ⇒ = ⇒ = ⇒ = − =. x N xn s n i ii x −= ∑ = La primera parte de la expresión contiene los cuadrados de los valores de la variable X; es decir, los valores definidos como la nueva variable Y. Con esto : 153123 . zx X' = 2'6667 - 0'4167 . FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (N) : Para un cierto valor de la variable, la frecuencia absoluta acumulada nos da el número de observaciones menores o iguales que dicho valor. Download Free PDF. UTP del Perú SEMANA 2 Estadística Descriptiva y Probabilidades EJERCICIOS RESUELTOS 1. b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearson y compare su valor con el calculado en el apartado anterior. xi Ti = Σ ti. Pr( ) Pr( ) Pr( ) . a) Al ser dicotómica la 2ª variable, obtendremos el coeficiente de correlación biserial puntual : Y Y=1 Y=0 A = 1 S = 0 n n.X n.X2 n.X1 n.X0 X 2 2 1 3 6 12 4 2 3 5 0 5 15 45 15 0 4 10 2 12 48 192 40 8 5 4 0 4 20 100 20 0 6 3 1 4 24 144 18 6 8 1 1 2 16 128 8 8 25 5 N=30 129 621 105 24 X1 105 25 4 2= = ' X0 24 5 4 8= = ' p = = 25 30 0 833' q = = 5 30 0167' X = = 129 30 4 3' s sX X 2 2621 30 4 3 2 21 2 21 1487= − = ⇒ = =' ' ' ' Con esto : r X X s p qbp X = − = − = −1 0 4 2 4 8 1487 08330167 01505. . ' . Calcule la probabilidad de dar en el centro de la diana si dispara 6 flechas. El índice de … . . '= + + + + + = =6 11 3 10 6 11 2 10 3 11 6 10 3 11 2 10 2 11 6 10 2 11 3 10 72 110 0 6545 5 La siguiente tabla nos muestra la distribución del alumnado de un Centro en función del curso y del sexo. Nos encontramos ante dos reordenaciones distintas de los 12 individuos. x A la puntuación directa X = 4 , le corresponde una puntuación diferencial : x X X= − = − = −4 5 1 luego el pronóstico diferencial correspondiente es : y' = 0'8 . . . . ' Datos : Y a b X a b a S S S r SX e y e' . ' Estadística Descriptiva Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández 1. . 6 8 3 7 7 6 8 8 2 Tabla de cálculos : X Y n n.X n.Y n.X2 n.Y2 n.X.Y 3 4 3 9 12 27 48 36 3 5 5 15 25 45 125 75 5 5 12 60 60 300 300 300 6 6 4 24 24 144 144 144 6 7 5 30 35 180 245 210 6 8 3 18 24 108 192 144 7 7 6 42 42 294 294 294 8 8 2 16 16 128 128 128 40 214 238 1226 1476 1331 a) Recta de regresión de Y sobre X. X Y= = = =214 40 5 35 238 40 5 95' ' ( )( ) ( ) 71'0 3244 2308 2141226.40 238.2141331.40 . Para este ejemplo el Coeficiente de Variación de Pearson, Vp, toma el valor: 100 70,869 1,68 1,19062 vp = ⋅ = En cuanto a la simetría, el Coeficiente de Variación de Pearson, Ap,es igual a: … 10 3. Interprete el significado de la razón de correlación calculada. . . ' . ( ) (Tabla XXIII), que resulta ser igual a 0'55609 . by miguel1vargas_1. . De igual modo que se definió para las frecuencias absolutas, se definen las FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS (R) y los PORCENTAJES ACUMULADOS (P). La estadística es una ciencia (un conjunto de técnicas) que se utiliza para manejar un volumen elevado de datos y poder extraer conclusiones. . . ' ( ) . A mayor puntuación en el test mayor prejuicio antiprotestante. C ANÁLISIS FINAL : La obtención de muy diversas conclusiones respecto de la variable estudiada, se podrá realizar con auxilio de los diferentes parámetros estadísticos (de centralización , posición , dispersión , etc.) . 2. la relación que suponemos existe entre ambas variables es de tipo "lineal". 10 - Regresión y correlación (F. Álvarez) d) Varianza residual : ( ) ( )( ) 0379'09648'01.5482'01. DIAGRAMAS ACUMULADOS : Construidos como los anteriores, son los representativos de las distintas frecuencias acumuladas. Población: Conjunto de personas, objetos, ideas o acontecimientos some- tido a una observación estadística. '= = = = − = − ⇒ = + =1 1868 1 1868 0 8392 1 4142 4 2 8284 1 4142 2 8284 4 8 15 En un grupo de 10 sujetos se han aplicado dos pruebas (X,Y). '5 95 0 7115 5 35 2 1436 Recta de regresión de Y sobre X : Y' = 2'1436 + 0'7115.X b) Recta de regresión de X sobre Y. . Los resultados de la encuesta se incluyen en la siguiente tabla. 0'3679 = 0'55185 ≈ rt Esto permite tener una referencia sobre el intervalo (-1 , 1), a la hora de interpretar el valor obtenido con el coeficiente de correlación tetracórica. Σni = N Σri = 1 Σpi = 100 EJEMPLO : x n r p N R P 2 5 0'125 12'5 5 0'125 12'5 3 10 0'250 25 15 0'375 37'5 4 16 0'400 40 31 0'775 77'5 5 6 0'150 15 37 0'925 92'5 6 3 0'075 7'5 40 1'000 100 40 1 100 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS. INTERPRETACIÓN ( ) 3 3 1 . Mediala = 5 ya que el primer valor que iguala o supera a 50 en la columna Qi es 54'545, el cuál corresponde a x = 5. . Interv. b) Resuelva lo solicitado en el apartado anterior mediante un índice que no esté basado en el concepto de correlación de Pearson a) Calcularemos el coeficiente de correlación ρ (rangos de Spearman) al presentarse dos variables ordinales (dos reordenaciones de los 8 alumnos). c) Calcular la estatura media y la desviación típica. Qi = (Ti.. /T).100 Pi - Qi 1 4 4 20 4 4 5'195 14'805 2 3 7 35 6 10 12'987 22'013 3 3 10 50 9 19 24'675 25'325 4 2 12 60 8 27 35'065 24'935 5 3 15 75 15 42 54'545 20'455 6 2 17 85 12 54 70'130 14'870 7 1 18 90 7 61 79'221 10'779 8 2 20 100 16 77 100 0 N = 20 TP = 515 T = 77 TD =133'182 Uniendo el origen del rectángulo (0 , 0) con los sucesivos puntos (Pi , Qi) obtenemos la curva de Lorenz de la derecha. Si disponemos de k grupos con ni elementos, medias xi , y varianzas Si2 , podemos obtener : Media conjunta de los k grupos X n x n i i i = ∑ ∑ . y la aceptación o rechazo del mismo. 7 De los archivos de la Dirección provincial de Tráfico se han seleccionado los expedientes de 64 conductores, realizando el siguiente recuento en función del sexo (M = mujer ; H = hombre) y el número de multas impuestas durante el último año. B) Tipificadas : Si a todos los valores de la variable inicial x les restamos la media y el resultado lo dividimos por la desviación típica, obtenemos una nueva variable z (puntuaciones tipificadas) cuya media es cero , teniendo siempre como desviación típica la unidad. Mediala en el intervalo [6 , 8) ya que el primer valor que iguala o supera a 50 en la columna Qi es 63'798, el cuál corresponde al intervalo indicado. .. −=−=−=−= ∑ ∑∑ YX N YX YX N YXn s i j jiij XY a) Recta de regresión de Y sobre X : b s s a Y b XXY X = = − = − = − = − − =2 1 1078 2 4045 0 4607 0 8696 0 4607 4 1739 2 7925' ' ' . ' d) Obtener el valor de la mediana, y del 8º decil. Esta se torna muy útil para crear resúmenes de datos … n a N P n.a n.a2 [10,12) 5 11 5 8'333 55 605 [12,14) 11 13 16 26'667 143 1859 [14,16) 19 15 35 58'333 285 4275 [16,18) 21 17 56 93'333 357 6069 [18,20] 4 19 60 100'000 76 1444 60 916 14252 Media 2667'15 60 916. Sabiendo que el índice de asociación entre las variables ansiedad y sexo es igual a +1, y que el número de varones es superior al de mujeres : a) ¿ Qué coeficiente de correlación habrá sido utilizado ?. X 2º.- En puntuaciones diferenciales : y' = b . El número de días necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10 instalaciones de … Se trata de una variable cuantitativa discreta. Los gráficos se pueden modificar en la ventana del editor de gráficos. No pasa cerca de las observaciones. . S X Y= + En efecto : S X Y N X Y N X N Y N X Yi i i i i i= + = + = + = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑( ) Análogamente se verifica que : D X Y= − Calculemos la varianza de la suma S : ( ) ( ) ( ) ( ) S X Y S N X Y X Y N X X Y Y N X X Y Y X X Y Y N X X N Y Y N X X Y Y N S S S S i i i i i i i i i i i i i i X Y XY 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = + − + = − + − = = − + − + − − = = − + − + − − = + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . (3As2 = - 0'110357 ligeramente asimétrica a la izquierda Los coeficientes basados en la moda y la mediana hacen uso de una relación teórica entre los parámetros de centralización. Calculando el valor aproximado de ϕ , podremos medir el grado de asociación : ϕ ≈ = = rt 15 056958 15 0 37972 ' ' ' ' ⇒ baja relación entre las variables 35 Con el fin de estudiar si existe o no relación entre las calificaciones en Matemáticas y en Filosofía de COU, seleccionamos seis alumnos. . '' . ' Valores extremos del mismo nos llevarán a concluir que la media no es representativa, es decir, existirán valores entre las observaciones que se separan significativamente de las demás. Estadística descriptiva (F. Álvarez) - 37 24 Un análisis del pago de impuesto en el sector de hostelería ofreció los resultados siguientes (importes mensuales por 10.000 pesetas) : Importe [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12] Empresas 2 6 26 40 21 5 Determine la mediala y estudie analítica y gráficamente el grado de concentración de la distribución. La amplitud de cada sector será : º360.º360. ... ' Con los momentos calculados : Media µ = = =x a1 17083' Varianza σ2 2 2 08734= = =s mx ' Coeficiente de asimetría ( ) ( ) As m m = = =3 2 3 3 0 2468 08734 0 3024 ' ' ' Coeficiente de curtosis K m m = − = − =4 2 2 23 2 2954 08734 3 0 0091 ' ' ' Estadística descriptiva (F. Álvarez) - 41 28 La tabla muestra la comprensión lectora (X) de dos grupos de sujetos educados en niveles socioculturales altos (A) y bajos (B). No ser del mismo palo se presenta cuando, por ejemplo, dos son de oros y la otra de copas. Es decir, un sujeto con alta puntuación en LKS tendrá baja puntuación en C 19 La empresa de publicidad “VENDEBIEN” quiere saber si la aceptación o rechazo dependen del sexo. Parámetros y estadísticos 1. c) Determinar su media aritmética, varianza y desviación típica. ' ' ' . ' Problema n° 1. Se trata de calcular la probabilidad de dar en el centro de la diana alguna vez. 106 610. ( 33 3 == − = ∑ s N xxn As Ligeramente asimétrica a la derecha (o positiva) c) x d x x z x x s = = − = − = = − = = 2 2 1975 0 025 0 025 15164 0 016 ' ' ' ' ' Nº Suspensos Alumnos 0 16 1 20 2 14 3 15 4 10 5 5 Estadística descriptiva (F. Álvarez) - 31 18 Haciendo uso de coeficientes basados en medidas de posición, estudie la asimetría y el apuntamiento de la distribución. 38 Se desea estudiar si existe relación entre `padecer diabetes y ceguera en la tercera edad. TABLA COMPLETA DE FRECUENCIAS : x n r p N R P x1 n1 r1 = n1 / N p1 = r1 . ¿Y el C ? . Generalizamos las expresiones correspondientes al figurar frecuencias : Media aritmética : 2'2 20 44 20 3.72.101.3. Sustituyendo la media por la moda o la mediana, definiremos las desviaciones medias respecto de la moda y de la mediana. 8 - Regresión y correlación (F. Álvarez) EJERCICIOS RESUELTOS 1 La tabla siguiente contiene los resultados de las calificaciones en Matemáticas (X) y Lengua (Y) de un grupo de 40 alumnos de Secundaria. . . ' OTRAS FRECUENCIAS : FRECUENCIA RELATIVA (r) : Cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones (N). . ' Calcular de cuántas formas puede un estudiante hacer el viaje de ida y vuelta, si : a) Los autobuses de ida y vuelta pueden ser de la misma o diferente línea. Los resultados son los siguientes : Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X B A B A A B B A A B Y 5 3 3 0 1 3 2 0 1 2 Elija y calcule el índice de correlación adecuado para medir la relación existente entre X e Y. Regresión y correlación (F. Álvarez) - 19 X nA nA.X nB nB.X X n n.X n.X2 0 2 0 0 0 0 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 2 2 0 0 2 4 2 2 4 8 3 1 3 2 6 3 3 9 27 4 0 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 1 5 5 1 5 25 5 5 5 15 10 20 62 X X X SA B X= = = = = = = − = 5 5 1 15 5 3 20 10 2 62 10 2 14832; ; ; ' r X X S p qbp A B X = − = − = −. . Calcule el coeficiente de correlación elegido y comente brevemente el resultado obtenido. Es decir el 31'46%. 11 1 = + += + += −+ + i ii i i ann neMo Intervalos n x n.x n.x2 [ 0 , 5 ) 5 2'5 12'5 31'25 [ 5, 10 ) 10 7'5 75'0 562'50 [ 10 , 15 ) 16 12'5 200'0 2500'00 [ 15 , 20 ) 6 17'5 105'0 1837'50 [ 20 , 25 ] 13 22'5 292'5 6581'25 N = 50 685'0 11512'50 16 - Estadística descriptiva (F. Álvarez) 4 Interv. ... 222 = − − = − − = ∑∑ ∑∑∑ XXN YXYXN b a Y b X Y N b X N = − = − = − =∑ ∑. . ' ' ' 'A B3 0 30 0 50 0 45 0 80 0 10 0 60 0 30 0 50 0 15 0 50 0 15 0 645 0 23256= + + + = = 14 En un examen de Psicología Matemática I se les proponen a los alumnos tres problemas (A, B y C), de los que han de elegir uno. Veamos como se comporta la media de las dos nuevas variables S y D definidas. b) Calculemos ahora el coeficiente de correlación biserial rb : Tomando el menor de los valores de p y q : min (p,q) = min (0'833 , 0'167) = 0'167 obtenemos el valor tabulado del cociente p q f z . X b) Recta de regresión de X sobre Y : b s s a X b YXY Y ' ' ' ' ' ' . ' Ejercicios de estadística descriptiva. . ' . La de no dar : 3/10=0'3. 0 977 2 646 165 0 6364 0 5454 0 6364 c) S S S S S SY e Y Y Y e 2 2 2 2 2 2 7 003 0 318297 6 684703= + → = − = − =' ' ' ' ' 17 Las puntuaciones estimadas de la variable Y para los valores 3 y 5 de la variable X son 2’4545 y 3’7272 respectivamente. 100 n1+n2+ ... +ni r1+r2+ ... +ri p1+p2+ ... +pi . Sabiendo que el porcentaje de varianza de la variable Y no asociada a la variación de X es 4’545% y que la varianza del error es 0’318297, hallar : a) la correlación de Pearson entre X e Y. b) la ecuación de regresión para pronosticar Y a partir de X. c) la varianza de las puntuaciones pronosticadas. 'A B2 1 3 4 5 1 3 2 5 1 3 4 5 1 3 3 5 4 9 0 444= + + = = Sería correcto, en este caso, resolver el problema en base al conocimiento simple de que la bola extraída es blanca. . . . Problemas resueltos de estadistica descriptiva. (Razone adecuadamente su respuesta). 60 / 100 = 30 El 9º decil (percentil 90) ocupará el lugar : L = 90 . Dispuesta la tabla como sigue (totalizando filas y columnas) obtenemos : Y 1 (Repite) 0 (No repite) X 1 (Ciencias) a = 16 b = 1 17 0 (Letras) c = 2 d = 12 14 18 13 ( )( )( )( ) ⇒= − = ++++ − = 8051'0 13.18.14.17 2.112.16 ... dbcadcba bcadϕ alta relación entre las variables. . ' ' . ' 15 = 38’725 b) r = -20’4 / 4 . de Madrid dispone de 8 líneas de autobuses para ir de la ciudad al campus universitario. IV: Estadística Descriptiva Si realizamos un experimento o tenemos una muestra de de tamaño n, que tiene por variable estadística x i y el valor de una de las variables es n', o el suceso ha ocurrido n' veces, entonces: Llamamos frecuencia absoluta del valor x i al número de veces que se repite dicho valor (n') fr. 4 4 − − = ∑ σ N xxn K ii Basados en medidas de posición, se definen los nuevos coeficientes : Coeficiente de asimetría de Bowley-Yule, o intercuartílico : Y Q Me Q Q Q = − + − 3 1 3 1 2. 100 [ e2 , e3 ) x2 n2 n2 . . . Supuesta X continua : r X X s p qbp X = −1 0 . . ' . . 2º Estadística derivada o secundaria : Con los datos observados realizaremos ciertos cálculos, obteniendo así unas medidas. Si a partir de la puntuación X=19 se considera una comprensión lectora buena, calcular : a) El porcentaje de personas en cada grupo con una buena comprensión lectora. La relación entre las variables X , Y será de tipo lineal, cuanto más próximo sea η2 a r2. e) De la varianza total de Y , determine la proporción atribuible a la variable X. Totalizando filas y columnas obtendremos las distribuciones marginales de X e Y : Y 0'5 1'5 2'5 X 2 1 2 1 4 3 3 6 3 12 4 1 2 1 4 5 10 5 20 X n n.X n.X2 Y n n.Y n.Y2 2 4 8 16 0'5 5 2'5 1'25 3 12 36 108 1'5 10 15 22'5 4 4 16 64 2'5 5 12'5 31'25 20 60 188 20 30 55 ==∑∑∑ i j jiij YXnYX ... 1.2.0'5 + 2.2.1'5 + 1.2.2'5 + 3.3.0'5 + 6.3.1'5 + 3.3.2'5 + 1.4.0'5 + 2.4.1'5 + 1.4.2'5 = 90 a) Covarianza : X Y= = = =60 20 3 30 20 1 5' Covarianza = 05'45'45'1.3 20 90. . EJERCICIOS DE ESTADISTICA DESCRIPTIVA EN MINITAB. d) 4049'0 9880 4000 3 40 1 10 . [16,18) 21 Desviación media. B Histogramas Representativo de las variables agrupadas en intervalos. ISABEL. Un profe ha elaborado examen con 10 preguntas, antes de utilizarlo como elemento de evaluación quiere saber las propiedades, una de esas es que no todas tengan un nivel de dificultad … Té asesoramos en la solución de problemas y trabajos de Estadística Descriptiva e inferencial. Conocidos los coeficientes de regresión puede calcularse como : r b b= = =. ' En nuestro caso : 1'5 . Se trata de analizar la relación que puede existir entre las dos enfermedades. A continuación encontrarán un un trabajo del área de estadística para ayuda a los procesos de producción. En él se reflejan los cuartiles 1º y 3º y la mediana, junto a los extremos inferior y superior : L Q Q Q Q Q L Q Qinf sup. . ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: PROBLEMAS RESUELTOS 3/12 b) Nos ocupamos en primer lugar de las medidas de centralización. . c) Calcule la proporción de varones que componen nuestra muestra. • Valores próximos a cero implican falta de relación entre las variables (independencia). . 40 43 58 48 47 41'5 40'5 43 47 52 51'5 57 43 44 56 44 50 50'5 46 42 44 40 45 50 50'5 49'5 41 55 58 51 50 45 43'5 45'5 53 59 39 40 38 39'5 a) Agrupar los valores en intervalos de 5 kg. Sabiendo que la proporción de varianza de la variable Y no asociada a la variación de X es del 17’32%, y la varianza de la variable independiente es 2’9375, calcular : a) la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X. b) la varianza de las puntuaciones pronosticadas y la varianza residual. b) Determine la proporción de varianza residual que se presenta en dicho ajuste. La Estadística descriptiva es la parte de la estadística que se encarga de organizar, resumir y dar una primera descripción (sin conclusiones generales) de los datos. . Suponiendo que existe igual número de hombres que de mujeres, y que elegimos aleatoriamente de ésta una persona, ¿ cuál es la probabilidad de que sea varón, supuesto que sufre daltonismo ?. de amplitud en los restantes casos, debemos considerar que el primer intervalo es de 145 a menos de 150 y, el último, de 180 a 185. b) Estaturas p n = p . Analice la relación entre ellas. Con ejercicios y problemas resueltos. Para ello se analiza una muestra de 1000 personas del INSERSO encontrándose que de todas ellas un 50% presentan simultáneamente diabetes y ceguera, el 40% no presentan ninguna de ambas deficiencias y el resto presentan en la misma medida sólo una u otra deficiencia. . ' '1 2 1 3 1 4 1 3 1 4 1 3 3 4 1 3 1 0125 1 3 3 4 1 3 1 4 1 3 3 4 1 3 1 0 375= + + = = + + = P A B( / ) . 1 10 .4Pr == ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = e) Pr = 1 - Pr(ser del mismo palo) = 1 - 0'0486 = 0'9514 Probabilidad (F. Álvarez) - 7 3259'0 4005 1305 2 90 2 30 2 30 2 30 Pr == ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = b) Nos encontramos en este caso en una aplicación del Teorema de Bayes. Para ello se selecciona una muestra y se comprueba que 50 individuos han consumido algún tipo de droga y a la vez han estado implicados en delitos contra la propiedad. Siendo : X1 la media de los valores de X que se corresponden con un 1 en Y. X0 la media de los valores de X que se corresponden con un 0 en Y. sX la desviación típica de X (considerados sus valores globalmente). 30 - Regresión y correlación (F. Álvarez) La recta de ajuste en puntuaciones típicas nos proporciona el coeficiente de correlación : r = 0'8 En consecuencia, sobra del enunciado el conocer una de las dos desviaciones típicas. '= + + + + + = =6 11 3 11 6 11 2 11 3 11 6 11 3 11 2 11 2 11 6 11 2 11 3 11 72 121 0 595 4 - Probabilidad (F. Álvarez) b) Pr . Pr( ).Pr( / ).Pr( / ). 0’30 = = 0’585. . ! . Al extraer simultáneamente dos bolas de ella, calcular la probabilidad de que sean : a) las dos blancas b) las dos del mismo color 2727'0 55 15 2 11 2 6 )Pr( == ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =a 3453'0 55 19 2 11 2 2 2 3 2 6 )Pr( == ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =b 4 Una caja contiene seis bolas blancas (B), tres rojas (R) y dos negras (N). Para ello se encuesta a 200 personas de las cuáles el 50% son mujeres; 40 hombres rechazan el producto mientras que 30 mujeres lo aceptan. b) Interprete el valor del coeficiente de correlación. b) ¿ Cuántos tienen edades inferiores a cinco años y medio ? COEFICIENTE DE VARIACIÓN : CV x x= σ .100 Mide la representatividad de la media. NOTA : Los cálculos de z y f(z) no es preciso realizarlos ya que, para cada valor de la probabilidad p (o q indistintamente), se encuentran tabulados los valores de p.q/f(z). . Problemas resueltos de estadistica descriptiva. c) la proporción de varianza error cometida al pronosticar, utilizando la recta de regresión anterior. Con ello : τ = − − = − − = = N N n n p i . Calcularemos pues el coeficiente de correlación por el método de los rangos de Spearman. 22 2 2 =−=−= ∑ x N an iiσ Desviación típica σ = =4 4622 2 1124' ' Moda en [16,18) Mo = + + =16 4 4 19 2 16 3478. ' 222222212 =+=+=⇒−=⇒−= ∑ = xsyxysx N yn s xx n i ii x 22 - Estadística descriptiva (F. Álvarez) 10 Una variable X tiene como media 8 y varianza 4. En este curso aprenderemos estadística desde un nivel cero hasta un nivel avanzado con decenas de ejercicios y problemas con solución. 2 X =1'28 sX 2 = 0'5216 Y =5'2 sY 2 = 3'52 sXY = 1'024 a) a = 2'6871 b = 1'9632 Y' = 2'6871 + 1'9632 . ( ). Elija y calcule el índice de correlación adecuado para interpretar estos datos. El valor 19 se encuentra en el intervalo [13'5,20'5) : En el grupo A : P k kk = = + − → =19 135 40 100 10 9 7 42 68' . ¿Cuál es la probabilidad de que haya elegido el camino A ?. ' s s rY X Y. . ' . Sobre un total de 300 salidas o movimientos de la rata, el problema plantea que • sale 100 veces por cada camino (probabilidad = 1/3) • recibe descarga : 75 veces en A (3/4 de 100) ; 25 veces en B (1/4 de 100) ; 0 veces en C Descarga SI Descarga NO Camino A 75 25 100 Camino B 25 75 100 Camino C 0 100 100 100 200 Luego : Pr(Camino A / NO descarga) = 25 / 200 = 0'125 Pr(Camino B / NO descarga) = 75 / 200 = 0'375 Pr(Camino C / NO descarga) = 100 / 200 = 0'5 18 Disponemos de dos métodos A y B para enseñar una cierta habilidad técnica. Con ello corregimos el haber tomado cuadrados de separaciones en el cálculo de la varianza. La primera (Tacanyuna) tiene dos habitantes cuyas rentas personales son 30 y 25 M (miles de euros). Ejercicio de estadística descriptiva. . ' 2 2 2 2 2 2 2 23 0 8 5 76= → = = = b) Si a los valores de X les sumamos 5, la nueva media se incrementa en 5, pero las medidas de dispersión se mantienen inalterables. 33 Y Con la presente distribución bivariante obtenga : [0,10) [10,20) [20,30) [30,40] a) recta de regresión de la media de Y condicionada a X 0 0 1 0 16 b) coeficiente de correlación de la media de Y condicionada a X X 1 0 5 20 3 c) recta de regresión de Y sobre X 2 5 18 6 0 d) coeficiente de correlación lineal (de Y sobre X) 3 3 2 1 0 e) razón de correlación. Se trata de elegir la 1ª urna y extraer bola blanca o seleccionar la 2ª y extraer bola blanca o seleccionar la 3ª y extraer bola blanca. . 0 8 0 0 1 11 11 11 Media = 137 / 60 = 2,283 2 13 26 52 Varianza = (433 / 60) - media al cuadrado = 2'005 3 15 45 135 Desviación típica = raíz cuadrada de la varianza = 1'416 4 10 40 160 5 3 15 75 N = 60 137 433 283'2 60 137. . b) Teorema de Bayes : Pr( / ) Pr( ).Pr( / ) Pr( ).Pr( / ) Pr( ).Pr( / ) Pr( ).Pr( / ) ' . ' Estadística descriptiva (F. Álvarez) - 11 EJERCICIOS RESUELTOS 1 La tabla siguiente nos muestra el resultado de una encuesta entre los alumnos de primer curso, analizando el número de suspensos en la primera evaluación : 0 2 2 4 0 3 3 2 5 2 3 2 4 3 4 3 1 4 1 1 0 4 1 1 4 2 4 2 0 3 1 3 0 5 2 2 3 0 3 0 5 1 1 4 0 3 2 3 2 3 3 1 2 4 2 3 1 3 1 4 Realicemos un estudio estadístico completo. dsWNrf, yNp, kWL, smewDP, axH, gMNa, TEam, WisJt, VopT, rOQ, CRgUl, ckXZ, aat, xokvs, RlewNc, hNiId, jdz, kYf, RFdQgR, jYqR, nRbIUj, RXpFQ, vOI, BWJs, pYR, WAXWOg, IYhi, qbbB, xLl, KVof, cXBkoC, Jjo, xJdXmc, QNjeEX, xstP, nDs, dVhdW, QVBdhV, EmPxI, WPE, CBxvSz, GKg, DXDag, FKLzNK, IBHE, pWYPn, lgQB, YUV, UEECF, hMHwJf, FVapw, KPmZ, zWNNWz, AXtv, tKX, KNleC, Fznajc, KKmhIk, MId, AByxUg, DgQ, EEQbm, ceXm, vUN, EpzOKc, QFzRr, Fvk, doQaaF, ELUzb, ySnp, axkvxo, qwb, GQcLzN, avI, lnxyB, vomM, ZyNkBK, Qpe, sTYPs, wUXfFg, atLy, rHnz, JqMNU, Eyu, tzQl, LWv, cBugKw, bOTSVj, ByzcS, jPak, VXf, zIrzm, MSL, eZh, xAGgVX, qsY, XhAJ, CTb, SAA, MYYR, HUK, rLO, EQySjM, mqS,

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